האם מספרים באמת קיימים? פילוסופיה, היסטוריה ובנייה פורמלית

ייזום » תרבות » האם מספרים באמת קיימים? פילוסופיה, היסטוריה ובנייה פורמלית

כשאנחנו משתמשים במספרים כדי לומר מה השעה, לשלם בסופרמרקט או לבדוק את יתרת הבנק שלנו, אנחנו מקבלים אותם כמובן מאליו, כאילו הם אמיתיים כמו מפתחות הבית שלנו. אבל אם נחשוב על זה לעומק, הדברים מסתבכים יותר: באיזה מובן מספרים באמת "קיימים"?האם הם משהו שאנחנו מגלים, כמו כוכבי הלכת, או משהו שאנחנו ממציאים, כמו הדמויות ברומן?

ויכוח זה משלב פילוסופיה, היסטוריה ומתמטיקה בצורה מרתקת למדי. לאורך המאות הוצעו תשובות שונות: מאלה המאמינים שמספרים הם חלק מ"עולם מופשט" שאינו תלוי בנו, ועד לאלה הטוענים שהם לא יותר מאשר... כלים סמליים שיצרנו לספירה, מדידה והיגיון. לאורך הדרך, מופיעים רעיונות כמו האקסיומות של פיאנו, תורת הקבוצות, הבנייה הפורמלית של מספרים טבעיים, שלמים, רציונליים, אי-רציונליים וממשיים, ואפילו המגבלות המפורסמות שגילה גדל.

מה המשמעות של "קיים" מספר?

לפני שנתעמק בנוסחאות ואקסיומות, כדאי להבהיר למה לעזאזל אנו מתכוונים ב"קיום". קיומה של טבלה אינו זהה לקיומו של שרלוק הולמס או לקיומו של... מספר כמו 24השולחן הוא חפץ פיזי; הולמס הוא דמות בדיונית אך מוגדרת היטב; ה-24, לעומת זאת, אינו תופס מקום, לא שוקל דבר, ולא ניתן לאחסן אותו במגירה.

דרך אחת לגשת לסוגיה, שמקורה באפלטון, טוענת שמספרים הם ישויות מופשטות שחיות בתחום לא פיזיהם אינם עשויים מחומר, אך הם "אמיתיים" כמו צדק או יופי בפילוסופיה האפלטונית. מנקודת מבט זו, מתמטיקאים אינם ממציאים מספרים, אלא מגלים אותם: המספר 24 היה "שם" למרות שאף אחד לא חשב עליו.

פילוסופים ומתמטיקאים אחרים טוענים משהו שונה: מספרים מעדיפים סמלים ומבנים מושגיים שאנו מפתחים כדי למדל את העולם. הם לא יתקיימו מחוץ לתיאוריות ולמוסכמות שלנו, אם כי ברגע שכללים אלה ייקבעו, התוצאות המתמטיות יהיו נוקשות כפי שהיינו רוצים. בגישה זו, 24 הוא תוצאה של מערכת של סמלים ופעולות עליהן הסכמנו, ולא חלק מיקום מתמטי עצמאי.

ישנן גם הצעות ביניים מעניינות: חלק מהמחברים טוענים שמספר הוא סוג של אובייקט מופשט בעל התכונה הייחודית ש"אם הוא היה יכול להתקיים, הוא היה קיים"במילים אחרות, מושג צריך להיות אפשרי ומוגדר היטב רק כדי שיהיה לו סוג מסוים של קיום לוגי או מתמטי. דרך דיבור זו מאפשרת לנו לכלול לא רק מספרים, אלא גם קבוצות, שטחים, פונקציות, צורות גיאומטריות וישויות רבות אחרות שאנו משתמשים בהן מדי יום במתמטיקה.

מכל אחת מנקודות המבט הללו, הבעיה הבסיסית דומה: במה שונה קיומו של מספר מקיומה של דמות בדיונית?כולם יודעים מהו המספר 5 וכולם יודעים מי זה שרלוק הולמס, אבל אנחנו לא מייחסים להם את אותה מציאות. הדיון, רחוק מלהיות פתור, בדרך כלל מעלה יותר שאלות מאשר תשובות.

מספרים, סמלים ומשמעות: מה זה באמת "2"?

אם נסיר את מה שאנחנו מקבלים כמובן מאליו ונבחן את המספרים בצורה אובייקטיבית, הדבר הראשון שאנחנו רואים הוא סמלים או צלילים כתובים כאשר הם מבוטאיםה-"2" שאנו כותבים על נייר, ה-"שתיים" שאנו אומרים בקול רם, או ה-"II" הרומי אינם המספר עצמו, אלא ייצוגים.

סמל, כשלעצמו, הוא קו פשוט או צליל ללא תוכן. מה שנותן לו משמעות הוא הסכמה קיבוצית: החלטנו שהקו הזה מייצג כמות, סדר, מידהבדיוק כמו עם אותיות האלף-בית, שאינן אומרות דבר בפני עצמן, אלא יוצרות יחד מילים שאנו מקשרים לרעיונות, דברים או פעולות.

נקודת מבט סמלית זו מגלה משהו חשוב: אין שום דבר "קסום" בצורה הקונקרטית של מספריםיכולנו להשתמש בסמלים שונים לחלוטין, וכל עוד נסכים על אותם כללים ומשמעויות, המתמטיקה עדיין תעבוד. למעשה, לאורך ההיסטוריה היו מערכות מספרים רבות, עם סמלים וכללים שונים לחלוטין, ובכל זאת כולן שימשו לספירה, מדידה וחישוב.

עם זאת, השימוש היומיומי במספרים חורג הרבה מעבר לכתיבתם בלבד: כוחם של המספרים מתגלה כשאנחנו עובדים איתם.חיבור, חיסור, כפל, חילוק, העלאה בחזקות... כל הפעולות הללו מאפשרות לנו למדל תופעות אמיתיות: החל מחלוקת עוגה ועד לתכנון מערכת ניווט GPS או חישוב מינון החיסון.

דווקא משום שהמתמטיקה עומדת בבסיס כמעט כל הטכנולוגיה המודרנית, מתמטיקאים נאלצו, במיוחד מהמאה ה-19 ואילך, להגדיר בדיוק מקסימלי מה הבינו ב"מספר"לא היה מספיק פשוט לומר "זה מה שאנחנו משתמשים בו כדי לספור"; היה צורך בהגדרה פורמלית כדי למנוע סתירות ולאפשר לבנות את התיאוריה כולה בוודאות.

האם יש מספרים אינסופיים, או שזה גם לא כל כך ברור?

אחת הסוגיות המבלבלות ביותר כשדנים בקיומם של מספרים היא נושא האינסוףאנחנו רגילים לומר שיש אינסוף מספרים טבעיים: 0, 1, 2, 3... וכן הלאה. אבל אם נקבל זאת, עולות כמה שאלות מוזרות.

לדוגמה: אם נחשוב על "קבוצת כל המספרים" ונרצה לבחור אחד "באופן אקראי", מהי ההסתברות לקבל 5? באופן אינטואיטיבי, נוכל לומר משהו כמו 1 חלקי אינסוף, שנראה כמו אפסואם ההסתברות היא אפס, אפשר להתפתות לומר ש-5 "לא מופיע" בקבוצה הזו, מה שנשמע אבסורדי משום ש-5 בבירור שם.

סוג זה של חשיבה ממחיש את ההתנגשות בין אינטואיציות יומיומיות לגבי האינסוף לבין דרך קפדנית שבה מטפלים בהסתברות ובקבוצות אינסופיות במתמטיקהבתורת המידות ובהסתברות, משהו בעל הסתברות אפסית לא אומר שהוא בלתי אפשרי; זה פשוט מציין שבתוך רצף אינסופי, "משקלו" זניח. במילים אחרות, הרעיון ש"הסתברות אפסית = לא קיימת" אינו נכון במתמטיקה.

מכאן נובעת הצעה נוספת, פילוסופית יותר: אולי מספרים אינם "נתונים" כאינסוף שלם, אלא אנו יוצרים אותם צעד אחר צעד, מתקדמים ללא גבול אך מבלי להגיע לאינסוף סופיבמילים אחרות, המספרים יהיו פוטנציאלית אינסופיים (אנחנו תמיד יכולים להמשיך להוסיף 1), אבל לא יהיה "סכום" של כולם כמשהו סגור.

עמדה זו מתחברת לתפיסה של מספרים טבעיים כאובייקטים הנבנים על ידי רצף (0, אחר כך יורשו, אחר כך יורשו של יורשו וכן הלאה), מה שמוביל אותנו לרעיון המפורסם אקסיומות פיאנו תורת הקבוצות כבסיס פורמלי של המתמטיקה המודרנית.

מאפס לאפס: קבוצות, מרחב ריק ומספרים טבעיים

כדי לבנות בקפדנות את המספרים הטבעיים, מתמטיקאים רבים מהמאה ה-19 הסתמכו על שפה משותפת: ה- תורת הקבוצותהרעיון פשוט למראהו: אנו עובדים עם "קבוצות" (אוספים) ו"אלמנטים" (מה ששייך לאוספים אלה) ונותנים כמה אקסיומות בסיסיות לגבי אופן התנהגותם.

אחת האקסיומות הבסיסיות היא זו של ההרחבה: שתי קבוצות שוות אם יש להן בדיוק אותם איבריםסעיף נוסף, הספציפיקציה, מאפשר לנו ליצור תת-קבוצות מתנאי: בהינתן קבוצה A ותכונה T, קיימת קבוצה של כל האיברים של A המקיימים את T.

בעזרת כלים אלה נוכל להגדיר משהו מרכזי: ה- סט ריק, שהיא הקבוצה שאין לה איברים. ניתן להציג אותה כקבוצה של כל x ב-A כך ש-x ≠ x (תנאי בלתי אפשרי), כך שאף אחד לא נכנס למועדון הזה. קבוצה זו נקראת בדרך כלל 0 והופכת לאבן הפינה של הבנייה הפורמלית של המספרים הטבעיים.

משם, נוכל "לכנות" את המספרים הראשונים כקבוצות מסוימות: אנו קוראים לקבוצה הריקה 0, לקבוצה המכילה רק 0 אנו קוראים 1, לקבוצה המכילה גם 0 וגם 1 אנו קוראים 2, וכן הלאה. כל מספר בנוי כקבוצה שאוספת לכל המספרים הנ"לדרך זו של קידוד מספרים טבעיים (בדומה להצעתו של פרגה ומאוחר יותר לזו של פון נוימן) מאפשרת לקשר את הסדר "קטן מ-" להכללת קבוצות.

כדי להתקדם, אנו זקוקים לאקסיומה של האיחוד: בהינתן אוסף של קבוצות, קיימת קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים לפחות לאחת מהן. ואנחנו גם מגדירים את יורש של קבוצה A כאשר A+ = A ∪ {A}. כלומר, אנו מוסיפים את הקבוצה עצמה כאיבר חדש, מה שמאפשר לנו לעלות מספר אחר מספר.

זה מציג את המושג של קבוצת יורשיםקבוצה S היא קבוצה עוקבת אם היא מכילה 0, ובכל פעם שהיא מכילה איבר A, היא מכילה גם את יורשה A+. אקסיומת מפתח קובעת שקיימת לפחות קבוצה עוקבת אחת. אם ניקח את החיתוך של כל קבוצות העוקבות האפשריות, נקבל את הקבוצה הקטנה ביותר שמכילה את כולן: זה בדיוק המקום שבו קבוצת העוקבים "מקוננת". מספרים טבעיים, ℕ.

האקסיומות של פיאנו: הבטחה ש-1 + 1 = 2 אינה כל כך טריוויאלית

לאחר שנזהה את ℕ כקבוצה מינימלית המכילה 0 ויציבה על ידי סדרה, נוכל לחקור את תכונותיה. ג'וזפה פאאנו ניסח רשימה קומפקטית מאוד של אקסיומות בסוף המאה ה-19 אשר לוכדת מהות התנהגותם של מספרים טבעיים.

בגרסה טיפוסית, החל מ-1 במקום 0, האקסיומות של פיאנו קובעות, במונחים כלליים, את הדברים הבאים: ראשית, 1 הוא מספר טבעישנית, לכל מספר טבעי יש יורש, שהוא גם מספר טבעי. שלישית, לאף מספר טבעי אין 1 כיורשו (או, בניסוח אחר, 0 אינו יורשו של אף מספר טבעי). רביעית, אם קבוצה של מספרים טבעיים מכילה 1 וסגורה על ידי סדרה, אז היא מכילה את כל המספרים הטבעיים: זהו ה- עקרון האינדוקציהחמישית, אם לשני מספרים יש את אותו עוקב, אז שני המספרים שווים.

אקסיומות אלו, למרות שהן נראות פורמליות ויבשות במקצת, מקיפות רעיונות בהם השתמשנו באופן לא מודע מאז ילדותנו. לדוגמה, אינדוקציה מאפשרת לנו להוכיח תכונות מהסוג "כל המספרים הטבעיים מקיימים את X" על ידי הוכחה ש X תקף לראשון ואם זה נכון לגבי מספר אחד, אז זה נכון גם לגבי יורשו. זהו סוג של אפקט דומינו לוגי.

מאקסיומות אלו נגזרות תכונות בסיסיות של מספרים טבעיים, כגון אין מספר שיורשו הוא 0או שפעולת ה"עוקב" היא אינג'קטיבית (אם לשני מספרים יש את אותו עוקב, הם אותו מספר). הם גם מאפשרים לנו לאפיין את ℕ כקבוצה היחידה שעומדת בתנאים משולבים מסוימים של רצף ואינדוקציה.

הדבר המעניין ביותר הוא, שהחל ממסגרת לוגית זו ומרעיון היורש, ניתן לבנות בקפדנות פעולות החשבון הרגילות: חיבור, כפל וחזקות, ולהדגים את תכונותיהם הקלאסיות (קומוטטיביות, אסוציאטיביות, קיום יסודות ניטרליים וכו') מבלי לפנות לטענה של "אינטואיטיבית זה כך".

כיצד לבנות סכום, מכפלה וחזקות על מספר ℕ

ברגע שנקבל את האקסיומות של פיאנו וקבוצת ℕ מוגדרת היטב, נוכל לשאול את עצמנו: כיצד בדיוק נגדיר פעולות כמו חיבור, מבלי לקחת אותן כמובנות מאליהן? לשם כך, אנו משתמשים בכלי רב עוצמה: ה- משפט החזרה, אשר מבטיח את קיומן וייחודיותן של פונקציות מסוימות המוגדרות צעד אחר צעד על המספרים הטבעיים.

הרעיון הוא כדלקמן: אם יש לנו קבוצה X, איבר התחלתי a ב-X ופונקציה f: X → X, המשפט מבטיח שקיימת פונקציה ייחודית u: ℕ → X כך ש u(0) = ayu(n+) = f(u(n)) עבור כל המספרים הטבעיים n. כלומר, נוכל לבנות את u על ידי החלת f שוב ושוב החל מ-a, ולא יהיו שתי דרכים שונות לעשות זאת המכבדות הגדרה זו.

בהחלת רעיון זה על המספרים הטבעיים, נוכל להגדיר את הסכום של מספר קבוע m עם כל n. ניקח X = ℕ, a = m ופונקציה s: ℕ → ℕ שממפה כל na ליורשתה n+. לאחר מכן, משפט החזרה נותן לנו פונקציה S_m: ℕ → ℕ, כאשר S_m(0) = m ו- S_m(n+) = s(S_m(n)). אנו מפרשים פונקציה זו כ- הסכום m + nכלומר, אנו מגדירים S_m(n) = m + n.

עם הגדרה פורמלית זו, משהו נפוץ כמו 1 + 1 הופך לשרשרת קטנה של יישומים: 1 + 1 = S_1(1) = S_1(0+) = s(S_1(0)) = s(1) = 2זה לא שמתמטיקאים לא יודעים ש-1 + 1 שווה 2, אלא שהם רוצים להצדיק מדוע, בתוך המערכת האקסיומטית, השוויון הזה הוא בלתי נמנע.

מהגדרה זו, ניתן להוכיח תכונות כגון ש-0 משמש כאלמנט זהות עבור חיבור (m + 0 = my, 0 + m = m עבור כל m), שחיבור הוא חִלוּפִי (a + b = b + a) וזה גם אסוציאטיבי ((a + b) + c = a + (b + c)). כל ההוכחות הללו מסתמכות על עקרון האינדוקציה והתנהגות היורש.

המכפלה מוגדרת באופן דומה. אנו קובעים מספר m, אנו מקבלים פונקציה P_m: ℕ → ℕ כך ש- P_m(0) = 0 ו- P_m(n+) = S_m(P_m(n)). אנו מפרשים את P_m(n) כ- מטר × נכך, לדוגמה, 1 × 2 מפותח כ- P_1(2) = P_1(1+) = S_1(P_1(1)) = S_1(1) = 2. לאחר מכן, באמצעות אינדוקציה שוב, מוצגות תכונותיה: קומוטטיביות, אסוציאטיביות, וכי 1 הוא איבר הזהות של המכפלה.

חזקות נבנות על ידי ביצוע צעד נוסף: אנו מגדירים את E_m: ℕ → ℕ כאשר E_m(0) = 1 ו- E_m(n+) = P_m(E_m(n)), ואנו כותבים את E_m(n) = m^n. מהגדרה זו, זהויות כגון m^(n + k) = m^n × m^k, שוב בעזרת עקרון האינדוקציה והתכונות שכבר הודגמו של המוצר.

כל התהליך הזה, למרות היותו פורמלי וטכני במידה מסוימת, ממחיש כי בניין החשבון הבסיסי אינו "באוויר", אלא נתמך על ידי כמה אקסיומות ברורות מאוד וקומץ טיעונים לוגייםמנקודת מבט זו, "קיומם" של מספרים טבעיים פירושו שקיים מודל (לדוגמה, קבוצות הבנויות מהקבוצה הריקה) המקיים את האקסיומות הללו.

ממספרים טבעיים למספרים שלמים, מספרים רציונליים ומספרים אי-רציונליים

ברגע שהמספרים הטבעיים נקבעים היטב, הסיפור לא נגמר שם. בעיות יומיומיות ומדעיות מאלצות אותנו הרחב את היקום המספרי הזהלדוגמה, עם מספרים טבעיים אנחנו יודעים רק איך לספור ולחבר, אבל לא איך לחסר באופן כללי או לחלק.

השלב הבא הוא בדרך כלל להציג את מספרים שלמים, הכוללים את המספרים הטבעיים ואת הגרסאות השליליות שלהם: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... מבחינה היסטורית, שברים קדמו למספרים שליליים, אך מנקודת מבט פורמלית, נוח להתחיל עם המספרים השלמים. ניתן להגדיר מספר שלם כמחלקה שקילות של זוגות של מספרים טבעיים (a, b), כאשר אנו מתייחסים לשני זוגות (a, b) ו-(c, d) כשקולים אם a + d = b + c. באופן אינטואיטיבי, זה מתאים לחשיבה על ה- "להחסיר" מ- − b, למרות שפורמלית חיסור זה עדיין לא קיים בתוך ℕ.

אז ה- מספר רציונליאלה תואמים לשברים שתמיד הכרנו. הם משמשים למדידת כמויות שאינן מספר שלם של יחידות, כגון חצי עוגה, שליש ליטר או שלושה רבעי שעה. מספר רציונלי מיוצג בדרך כלל כ- a/b, כאשר a ו- b הם מספרים שלמים ו- b ≠ 0. באופן פורמלי, כל מספר רציונלי מוגדר כמחלקת שקילות של זוגות (a, b), כאשר b אינו שווה לאפס, כאשר שני זוגות (a, b) ו- (c, d) שקולים אם א·ד = ב·גכלומר, אם הם מייצגים את אותו פרופורציה.

הפיתגוראים האמינו ש"הכל הוא מספר" במובן של "הכל רציונלי", אך תפיסה זו התנפצה כאשר התגלה כי לא ניתן לכתוב את האלכסון של ריבוע שאורך צלע 1 (שורש הריבועי של 2) כשבר של מספרים שלמים. מאוחר יותר הוכח גם כי π ו-e הם מספרים אי-רציונלייםכלומר, לא ניתן לבטא אותם כ-a/b עם מספרים שלמים a ו-b.

לבנות בקפדנות את מספרים אי - רציונליים זה קצת יותר עדין. דרך אלגנטית לעשות את זה היא באמצעות שיחות טלפון. דדקינד חותךהרעיון הוא להתייחס לתת-קבוצות מסוימות של מספרים רציונליים בעלי גבול עליון ספציפי. לדוגמה, נוכל לקחת את קבוצת כל המספרים הרציונליים שהריבוע שלהם קטן מ-2; ה"חיתוך" הטבעי שלה הוא √2, שאינו רציונלי. בדרך זו, ניתן לראות כל חיתוך מתאים כמספר ממשי, וחלק מהחיתוכים הללו אינם תואמים למספרים רציונליים.

על ידי שילוב כל המספרים הרציונליים וכל החיתוכים הללו שמובילים למספרים אי-רציונליים, אנו בונים את הקבוצה של מספרים ממשיים, ℝב-ℝ חיים כל המספרים בהם אנו משתמשים למדידת גודל רציף: אורכים, שטחים, זמנים, מהירויות וכו'. בתוך המספרים הממשיים עדיין "משובצים" המספרים הטבעיים, השלמים והרציונליים, לכל אחד מהם פרשנות ספציפית משלו.

סיור קצר בהיסטוריה של מערכות מספרים

שאלת קיומם של מספרים אינה רק מופשטת; היא משתקפת גם בהיסטוריה של האופן שבו תרבויות שונות למדו... ספירה וכתיבת כמויותהעדות המוקדמת ביותר למספרים מתוארכת לסביבות שנת 7000 לפני הספירה, עם סימנים ועצמות ששימשו לשמירה על ספירות פשוטות.

במצרים העתיקה, בתקופת השושלת הראשונה, פותחה שיטת מספור עשרונית הירוגליפית. לכל חזקה של עשר היה סמל משלה, והם היו הם קיבצו את היסודות לעשרות.הוא שימש למשימות מעשיות כגון חישוב מיסים, מדידת שדות חקלאיים או בניית מקדשים.

במסופוטמיה, השומרים ומאוחר יותר הבבלים השתמשו במערכת מספור סקסאגסימלית, כלומר, בסיס 60מורכבותו טמונה במספר הרב של סמלים ושילובים אפשריים, אך היא הוכחה כיעילה ביותר באסטרונומיה ובמדידת זמן. למעשה, אנו עדיין משתמשים במורשת זו כיום בשעות, דקות ושניות.

היוונים לקחו את הבסיס המצרי עשר כנקודת ייחוס ופיתחו מערכת שבה השתמשו אותיות האלפבית שלהם כדי לייצג מספריםעם זאת, השיטה האטיקית הוכיחה את עצמה כנוקשה למדי והגבילה במידה מסוימת את פיתוח החשבון המתקדם, אם כי היוונים בלטו בצורה מרהיבה בגיאומטריה ובהוכחות לוגיות.

השיטה הרומית, המוכרת לנו יותר, ייעדה ערכים מספריים לאותיות מסוימות (I, V, X, L, C, D, M). למרות שהיא פשוטה יותר במראה שלה מאחרות, זה לא היה מיקוםזה הפך את ביצוע החישובים המסובכים למסורבל מאוד. זה בסדר גמור עבור כמה תאריכים על חזית בניין; פחות עבור אלגברה.

במקביל, צצה בהודו מערכת עשרונית ומערכת מיקומית בסביבות המאה ה-5 לפני הספירה. במערכת זו, ערכה של כל ספרה תלוי במיקומה, ועשר יחידות מסדר אחד שוות ערך ליחידה אחת מהסדר הגבוה הבא. מערכת זו, אשר שילבה במפורש את אפס כמספרזה הוכיח את עצמו כחזק ומעשי להפליא.

הערבים, שבאו במגע עם תרבויות כמו ההינדית, היוונית והמצרית, אימצו והפיצו את שיטת המיקום העשרונית הזו. למרות שאנו מדברים על "ספרות ערביות", במציאות מקורו בהודוהיו אלה העמים האסלאמיים שהעבירו אותה לאירופה, בין היתר, דרך אל-אנדלוס. עם הזמן, שיטה זו החליפה את הספרות הרומיות והפכה לסטנדרט עולמי.

באמריקה שלפני הקולומביאניה, תרבות המאיה פיתחה מערכת מספרית מתקדמת במיוחד, המבוססת על 20 וגם על מיקום. יתר על כן, הם זיהו במפורש אפס. הם ייצגו מספרים על ידי שילוב נקודות ופסיםנקודות עבור יחידות ועמודות עבור קיבוץ בחמשות. הטיפול שלו בלוח השנה ובאסטרונומיה היה מדויק להפליא.

סקירה היסטורית כולה זו מחזקת את הרעיון שלמרות שצורות וכללים משתנים, הצורך לספור, למדוד ולסדר את העולם הוא אוניברסלי.מספרים, בגלגוליהם השונים, מופיעים שוב ושוב בכל מקום בו קיימת ציוויליזציה שרוצה לארגן את חוויית הסביבה שלה.

גבולות המערכת: גדל ואמונה במתמטיקה

בסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20, מתמטיקאים רבים ביקשו להפוך את המתמטיקה ל... בניין מוצק לחלוטין, נטול סתירותהרעיון היה למצוא קבוצה סופית של אקסיומות בסיסיות שמהן ניתן יהיה להסיק את כל שאר התוצאות המתמטיות באמצעות לוגיקה טהורה.

דמויות כמו אנרי פואנקרה היו סקפטיות וראו בשאיפה זו בלתי ניתנת להשגה, בעוד שאחרים, בהובלת דיוויד הילברטהם היו בטוחים שניתן להשיג מערכת אקסיומטית מושלמת עבור חשבון, ובהרחבה, עבור שאר ענפי המתמטיקה.

אז הופיע קורט גדל והוכיח שני משפטים ששינו את הנוף לנצח. הראשון קובע, באופן מפשט מאוד, שבכל מערכת חזקה מספיק כדי לכלול חשבון בסיסי (לדוגמה, ה... אקסיומות פיאנו), תמיד יהיו טענות אמיתיות שלא ניתן להוכיח אותן בתוך המערכת עצמה. במילים אחרות: אריתמטיקה לא יכולה להיות גם שלמה וגם עקבית.

המשפט השני של גדל מטריד אף יותר: הוא מראה שאם מערכת אקסיומטית כמו זו של חשבון היא עקבית (ללא סתירות), אז לא ניתן להוכיח עקביות זו מתוך המערכת עצמה.אם מישהו היה מוכיח שאין סתירות בחשבון באמצעות האקסיומות והכללים שלה בלבד, זה היה אומר, באופן פרדוקסלי, שהמערכת אינה קוהרנטית.

מסקנות אלו פורשו לעיתים כמעין "בדיחה קוסמית": אם אנו מסתמכים כל כך על מתמטיקה ככלי האולטימטיבי לידע, עלינו לקבל זאת, במובן מסוים, עלינו גם להאמין במשהו שאנחנו לא יכולים להוכיח מתוך המסגרת המתמטית עצמה."קיומה" של מערכת אריתמטית סבירה, ללא סתירות, דורש מעשה מינימלי של אמונה.

כשאנחנו מחברים את כל המסע הזה - מהסמלים ועצם אישאנגו, דרך מצרים, בבל, הודו והמאיה, ועד תורת הקבוצות, האקסיומות של פאאנו, המבנים הפורמליים של סוגי המספרים השונים ומשפטי גדל - מה שאנחנו רואים הוא שמספרים הם, בו זמנית, כלים אנושיים ומבנים חזקים באופן מפתיעאנחנו יכולים להתווכח האם הם "קיימים" כישויות מופשטות או כמוסכמות מתוחכמות, אבל ברור שהם מעצבים את הבנתנו את היקום, ובמובן מסוים, מתעלים עלינו: גם אם היינו נעלמים, קשה לדמיין קוסמוס שבו 1 + 1 כבר לא יהיה 2.